Algebra de Boole

El álgebra de boole se refiere al uso de reglas específicas para simplificar y solucionar funciones lógicas. Se dividen en postulados básicos, propiedades y un solo teorema y aplican tanto para la suma lógica como para la multiplicación lógica.

Postulados fundamentales. Hace referencia a las operaciones de una variable realizadas con los valores 0, 1 y consigo misma. Hay 5 postulados:

- Identidad: Hace referencia a un elemento que sumado o multiplicado por una variable da como resultado la misma variable. En el caso de la suma lógica el valor del elemento identidad es cero ( A + 0 = A) y en el caso de la multiplicación lógica el valor del elemento identidad es uno ( A · 1 = A). Al elemento identidad también se le conoce con el nombre de elemento neutro.

- Dominación: Hace referencia a la operación donde la variable es sumada o multiplicada por determinado elemento y el resultado es el mismo elemento. En caso de la suma lógica el elemento tiene en valor de uno ( A + 1 = 1 ) y en el caso de la multiplicación lógica el elemento tiene un valor de cero ( A · 0 = 0).

- Idempotencia: Se refiere a la situación en donde una variable es sumada varias veces consigo misma o multiplicada varias veces consigo misma y el resultado es la misma variable. En el caso de la suma lógica A + A + ··· + A = A y en el caso de la multiplicación lógica A · A ··· · A = A.

- Complemento: Si se toma una variable y se suma con su complemento el resultado siempre es uno ( A + A’ = 1), y se toma una variable y se multiplica por su complemento el resultado siempre es cero ( A · A’ = 0 ).

- Involución: Se refiere a la operación realizada sobre una variable donde el resultado es la misma variable. En función lógicas esta operación es la doble negación, entonces si se toma una variable y se niega doble vez el resultado es la misma variable, y si se toma una variable negada y se niega doble vez el resultado es la variable negada.

En la siguiente tabla están los postulados básicos representados con compuertas.

Propiedades. Hacen referencia a las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva. Básicamente son las mismas propiedades de las matemáticas generales.

- Conmutativa: El orden de los elementos no afecta el resultado, es decir A + B es igual que B + A.

- Asociativa: Hace referencia a que no importe como se agrupen los términos el resultado es el mismo. En el caso de la suma A + (B + C) = (A + B) + C y en el caso de la multiplicación A · (B · C) = (A · B) · C.

- Distributiva: Hace referencia a que el resultado de una variable multiplicada por la suma de dos o más sumandos es igual al resultado de la suma de los productos de la variable con cada uno de los sumandos: A · (B + C + ···) = A · B + A · C + ··· . Algo interesante es que al ser funciones lógicas esta propiedad tiene su dual, es decir que el resultado de una variable sumada con la multiplicación de dos o más multiplicandos es igual al resultado de la multiplicación de la suma de la variable con cada uno de los multiplicandos: A + B · C · ... = (A + B) · (A + C) · ...

En la siguiente tabla están las propiedades representadas con compuertas.

Teorema de De Morgan: Hace referencia a una transformación que se realiza sobre una operación lógica y que como tal ayudan a simplificar funciones lógicas. La ley de De Morgan dice que el resultado de una suma lógica con su salida negada y es igual que el resultado de una multiplicación lógica con sus entradas negadas, así mismo que el resultado de una multiplicación lógica con su salida negada es igual a una suma lógica con sus entradas negadas. Esto aplica para n entradas. En la siguiente tabla esta la ley de De Morgan para dos entradas representada con compuertas.

Teniendo en cuenta los postulados, las propiedades y el teorema de De Morgan se tienen las siguientes identidades básicas para resolver funciones lógicas.

Donde A y B representa una variable o un conjunto de variables. Para entender mejor se realizarán algunos ejemplos.