Aproximación Chebyshev

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La aproximación Chebyshev en el diseño de filtros se refiere al uso de los polinomios de Chebyshev para la ubicación de los polos en un determinado filtro. Estos polinomios fueron descritos por el matemático Pafnuty Chebyshev. Tienen como principal característica que se les puede configurar un rizado antes de la banda de paso con lo que se logra una respuesta más rápida en la banda de paso. En la siguiente gráfica se muestra dicho comportamiento en los filtros pasa bajos:
Ahora las ecuaciones para hallar los polos de un polinomio Chebyshev son las siguientes:
Donde ε, A y A1 son unas constantes que ayudan a minimizar los cálculos de los polos, n es el número de polos del polinomio es decir el mismo orden del polinomio y k hace un recorrido desde 1 hasta n. Rdb hace referencia al valor del rizado en decibeles. Para entender mejor cómo hallar los polos de un polinomio Chebyshev se harán tres ejemplos.
Ejemplo 1. Halle los polos de un polinomio Chebyshev de segundo orden con rizado de 0.1db.
Solución. Hay dos polos ya que es un polinomio de segundo orden entonces n tiene un valor de 2 y k toma los valores 1 y 2. Hallamos el valor de épsilon:
Hallamos ahora el valor de la constante A:
Hallamos ahora el valor de A1:
Hallamos el valor del primer polo:
Hallamos el valor del segundo polo:
Ejemplo 2. Halle los polos de un polinomio Chebyshev de quinto orden con rizado de 0.5db.
Solución. Hay cinco polos ya que es un polinomio de quinto orden entonces el valor de n es de 5 y el valor de k va desde 1 hasta 5. Hallamos el valor de épsilon:
Hallamos el valor de A:
Hallamos ahora el valor de A1:
Hallamos el valor del primer polo:
Hallamos el valor del segundo polo:
Hallamos el valor de tercer polo:
Hallamos el valor del cuarto polo:
Y finalmente hallamos el valor del quinto polo:
Ejemplo 3. Halle los polos de polinomio Chebyshev de sexto orden con ripple de 1db.
Solución. El valor de n es 6 y el valor de k va desde 1 hasta 6. Hallamos el valor de épsilon:
Hallamos el valor de A:
Y ahora hallamos el valor de A1:
Hallamos el valor de polo 1:
Hallamos el valor del polo 2:
Hallamos el valor del polo 3:
Hallamos el valor del polo 4:
Hallamos el valor de polo 5:
Y finalmente hallamos el valor de polo 6:
En las siguientes tablas están los polos de los polinomios de Chebyshev desde orden 1 hasta orden 10 para diferentes valores de rizado.
Tenga en cuenta
- En las tablas aquí mostradas están los polos de los polinomios Chebyshev para la construcción de filtros pasa bajos de orden superior. Para hallar los polos de los filtros de orden superior pasa altos, pasa banda y elimina banda se debe realizar una transformación de los polos de los filtros pasa bajos a dichos filtros. Estas transformaciones están explicadas en los artículos filtros activos de orden superior pasa altos, filtros activos de orden superior pasa banda y filtros activos de orden superior rechaza banda.
- Los polos de los polinomios Chebyshev están ubicados en la parte real negativa del plano conjugado sobre una semi-elipse con centro en el origen.
- Los polinomios aquí mostrados se denominan Chebyshev tipo I donde el rizado se presenta antes de la banda de paso, hay otros polinomios de Chebyshev denominados tipo II donde el rizado se presenta después de la banda de paso. 
- Descarga las tablas de los polinomios de Chebyshev en formato Word aquí.

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