Aproximación Butterworth

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La aproximación Butterworth en el diseño de filtros se refiere al uso de los polinomios de Butterworth para la ubicación de los polos del filtro. Estos polinomios fueron descritos por el ingeniero y físico Stephen Butterworth en el año 1930. Tienen como principal característica la respuesta más plana posible en la banda de paso. En la siguiente gráfica se muestra dicho comportamiento para filtros pasa bajos de diferente orden:

Ahora la ecuación para hallar los polos de un polinomio Butterworth es la siguiente:

Donde n es el número de polos del polinomio es decir el mismo orden del polinomio y k hace un recorrido desde 1 hasta n. Ahora la ecuación característica de un polinomio de Butterworth está dada por la siguiente ecuación:

Para entender mejor como hallar los polos de un polinomio Butterworth se harán tres ejemplos.

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Ejemplo 1. Halle los polos de un polinomio Butterworth de primer orden y también halle la ecuación característica.

Solución. Solo hay un polo ya que es un polinomio de primer orden. Entonces el valor de n es 1 y k solo toma el valor de 1, se tiene entonces:

Ahora hallamos la ecuación característica:

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Ejemplo 2. Halle los polos de polinomio Butterworth de cuarto orden y halle ademas la ecuación característica.

Solución. Hay cuatro polos ya que es un polinomio de cuarto orden. Entonces el valor de n es de 4 y el valor de k va desde 1 hasta 4. Hallamos el valor de polo 1:

Hallamos el polo 2:

Hallamos el polo 3:

Y finalmente hallamos el polo 4:

Ahora hallamos la ecuación característica de cuarto orden:

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Ejemplo 3. Halle los polos de un polinomio Butterworth de séptimo orden y halle también la ecuación característica.

Solución. El valor de n es 7 y el valor de k va desde 1 hasta 7. Hallamos el valor de polo 1:

Hallamos el valor del polo 2:

Hallamos el valor de polo 3:

Hallamos el valor del polo 4:

Hallamos el valor de polo 5:

Hallamos el valor de polo 6:

Y finalmente hallamos el valor de polo 7:

Ahora hallamos el polinomio característico:

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En la siguiente tabla están los polos de los polinomios de Butterworth desde orden 1 hasta orden 10:

Y en la siguiente tabla están las ecuaciones características de los polinomios Butterworth desde orden 1 hasta orden 10:

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Tenga en cuenta

- En las tablas aquí mostradas están los polos de los polinomios Butterworth para la construcción de filtros pasa bajos de orden superior. Para hallar los polos de los filtros de orden superior pasa altos, pasa banda y elimina banda se debe realizar una transformación de los polos de los filtros pasa bajos a dichos filtros. Algunas de estas transformaciones están explicadas en los artículos filtros activos de orden superior pasa altos, filtros activos de orden superior pasa banda y filtros activos de orden superior rechaza banda.

- Los polos de los polinomios Butterworth están ubicados en la parte real negativa del plano complejo sobre una semicircunferencia de radio 1 con centro en el origen.
- Descarga las tablas de los polos y ecuaciones características de los polinomios Butterworth en formato word aquí.

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