Sistema de segundo orden subamortiguado ( 0 < ζ

La función de transferencia de un sistema de segundo orden es la siguiente:

Donde Y(s) es la función de salida del sistema, U(s) es la función de entrada del sistema, ζ es el factor de amortiguamiento ( adimensional ), ωn es la frecuencia natural no amortiguada ( en rad/seg ), y k es la ganancia del sistema ( adimensional ). En este caso el sistema es subamortiguado ya que el valor de ζ es mayor que cero y menor que uno (0 < ζ < 1), que hace que el sistema presente oscilaciones controladas y que además tenga raíces complejas conjugadas:

Ahora haciendo los siguientes reemplazos:

Donde σ es el factor de atenuación ( en rad/seg ) y a ωd es la frecuencia natural amortiguada ( en rad/seg ) tenemos:

Ahora nos interesa conocer la salida del sistema Y(s) teniendo como entrada una función escalón U(s), tenemos entonces:

Donde Ue es la magnitud de la función escalón. Ahora cambiando del dominio de “s” al dominio del tiempo se tiene:

Donde se puede ver que la señal de salida tendrá un nivel dc y será una señal senoidal envuelta por una señal exponencial descendente. En la siguiente gráfica se muestra la respuesta del sistema con ganancia k unitaria:

La línea de color verde es la señal escalón de entrada, la línea de color amarilla es la señal de salida, las líneas de color rojo y azul son las exponenciales descendientes que envuelven la señal de salida. Ahora hay unos parámetros característicos que se pueden observar gráficamente en la salida del sistema:

- Tiempo de subida ts: Es el tiempo en donde la señal toma por primera vez su valor de régimen estacionario.

Donde φ es un ángulo en radianes:

- Tiempo máximo pico tp: Es el tiempo en donde la señal de salida alcanza su pico máximo.

- Máximo sobrepico en porcentaje Mp%: Se refiere al máximo pico que se presenta en la señal de salida, su valor se da en porcentaje.

- Tiempo de establecimiento te(5%): Es el tiempo en donde la señal de salida se sitúa alrededor del 5% de su valor de régimen estacionario.

- Tiempo de establecimiento te(2%): Es el tiempo en donde la señal de salida se sitúa alrededor del 2% de su valor de régimen estacionario.

El factor de amortiguamiento ζ y la frecuencia natural no amortiguada ωn se pueden hallar en función de dos de los parámetros de salida del sistema, tal como se muestra en la siguiente tabla:

Tenga en cuenta:

- El valor del factor de amortiguamiento ζ en este caso subamortiguado es mayor que cero y menor que uno (0 < ζ <1), y es adimensional. Entre más se acerque su valor a cero el sistema presenta mayor sobre pico, menor tiempo de subida y mayor tiempo de establecimiento, y por el contrario, entre mas se acerque a uno presenta menos sobre pico, mayor tiempo de subida, y menor tiempo de establecimiento.

- La frecuencia natural no amortiguada ωn esta en rads/seg. Al aumentar su valor los tiempos de subida, pico y de establecimiento disminuyen, el máximo sobre pico permanece constante.

- Para hallar el factor de amortiguamiento ζ y la frecuencia natural no amortiguada ωn solo es necesario conocer dos de las demás variables, y viceversa si se conocen los valores del factor de amortiguamiento y de la frecuencia natural no amortiguada es posible hallar todas las demás variables.

Para entender mejor se realizarán tres ejemplos.

Calculadora Sistema de segundo orden subamortiguado (0 < ζ < 1)

Como usar la calculadora:

- Para los datos de entrada en caso de tener decimales se usa el punto no la coma. De usar la coma se produce error.

- Se escogen dos parámetros de entrada y luego la calculadora da los resultados de los otros 7 parámetros. La calculadora da los resultados de los parámetros ωn, ζ, ωd, σ, polos, Mp%, tp, ts, te5% y te2%.
- En el caso de que algun parametro de entrada sea en tiempo (tp, ts, te5% o te2%) este se puede ajustar a microsegundos, milisegundos o segundos.

Descarga la simulación en proteus 7.9 de Sistema de segundo orden subamortiguado aquí.
Descarga la simulación en proteus 8.3 de Sistema de segundo orden subamortiguado aquí.

Ejemplo 1. Halle los valores del factor de amortiguamiento ζ, frecuencia natural no amortiguada ωn y la función de transferencia para un sistema con tiempo de establecimiento te(5%) de 10 segundos, tiempo pico tp de 3 segundos y ganancia k de 3. Además halle los valores de tiempo de subida ts y máximo sobre pico Mp% y realice una simulación para verificar resultados.

Solución. Hallamos el valor del factor de amortiguamiento:

Hallamos ahora el valor de la frecuencia natural no amortiguada:

La función de transferencia es la siguiente:

Hallamos el valor del tiempo de subida ts:

y finalmente hallamos el valor del máximo sobrepico Mp%:

La simulación se muestra a continuación.

La línea de color amarilla es la señal escalón unitario, y la linea de color verde es la señal de salida. Se puede ver que la ganancia es de 3.

Ejemplo 2. Se tiene la siguiente función de transferencia:

Halle el tiempo de subida ts, el tiempo de máximo pico tp, el máximo sobrepico en porcentaje Mp%, y el tiempo de establecimiento te(2%). Realice una simulación para verificar resultados.

Solución. Para poder hallar los parámetros ts, tp, Mp% y te(2%) se deben hallar antes los valores del factor de amortiguamiento y de la frecuencia natural no amortiguada. Comparamos la función de transferencia con la función canónica de un sistema de segundo orden:

Se presentan las siguientes igualdades:

Resolviendo tenemos:

Ya con el valor de ωn y ζ procedemos a hallar los parámetros solicitados. Hallamos el valor de tiempo de subida ts:

Hallamos el tiempo máximo pico tp:

Hallamos el máximo sobrepico en porcentaje Mp%:

Hallamos el tiempo de establecimiento te(2%):

La simulación es la siguiente:

La línea de color amarilla es la señal escalón unitario, y la línea de color verde es la señal de salida. Se puede observar que la ganancia es de 2 y que el máximo sobrepico es de 16%.

Ejemplo 3. Se tiene un sistema con factor de atenuación σ de 0.6rad/seg y frecuencia natural amortiguada ωd de 0.8rad/seg. Halle el factor de amortiguamiento ζ, la frecuencia natural no amortiguada ωn, el tiempo de subida ts, el tiempo de máximo pico tp, el máximo sobrepico en porcentaje Mp%, el tiempo de establecimiento te(5%) y la funcion de transferencia del sistema. Además realice una simulación para verificar resultados.

Solución. Hallamos el valor del factor de amortiguamiento: