Sistema de segundo orden sobreamortiguado (ζ ≥ 1)

La función de transferencia de un sistema de segundo orden es la siguiente:

Donde Y(s) es la salida del sistema, U(s) es la entrada del sistema, ζ es el factor de amortiguamiento (adimensional), ωn es la frecuencia natural en rad/seg y k es la ganancia del sistema (adimensional). Ahora en un sistema sobreamortiguado el valor del factor de amortiguamiento es igual mayor a uno (ζ ≥ 1), que da como resultado polos reales. En la siguiente ecuación esta la función de transferencia con sus respectivos polos.

Ahora lo que nos interesa es la salida del sistema Y(s), despejando tenemos:

Ahora U(s) lo reemplazamos por la función escalón, tenemos entonces:

Donde Ue es la magnitud de la función escalón. Ahora cambiando del dominio de s al dominio del tiempo tenemos:

En un sistema de segundo orden hay tres tiempos importantes, tiempo t1 que es cuando la señal de salida alcanza el 26.42% del régimen estacionario, tiempo t2 que es cuando la señal de salida alcanza el 80.08% del régimen estacionario y el tiempo t3 que es cuando la señal alcanza el 95.95% del régimen estacionario.

Ahora la mayor dificultad de resolver un sistema de segundo orden sobreamortiguado (ζ ≥ 1) es que el sistema no tiene una solución analítica para t es decir no hay forma de despejar la variable tiempo, entonces el diseño típicamente se realiza por interpolación teniendo en cuenta los valores de las siguiente tabla:

Como usar la tabla:

- Si se parte de la gráfica es necesario hallar el valor de la relación t2/t1 o de la relación t3/t1. Luego esta se ubica en la tabla y se encuentran los valores del factor de amortiguamiento ζ y de la frecuencia natural ωn. Si el valor de la relación no esta en la tabla se debe realizar interpolación para hallar los valores del factor de amortiguamiento y de la frecuencia natural.

- Si se parte del factor de amortiguamiento y de la frecuencia natural, se ubica el valor de ζ en la tabla, luego se ubica el valor de ωn*t1, se despeja t1 y ya con este se pueden hallar los valores de t2 y t3. En caso de que ζ no este en la tabla se deberá realizar interpolación para hallar los valores de t1, t2 y t3.

- La ecuación para realizar interpolación es la siguiente:

Donde m es la columna del valor que se quiere hallar, n es la columna del valor de referencia, mx es el valor que se se quiere hallar, nx es el valor de referencia, mu y md son los valores superior e inferior entre los que se encuentra mx, y nx y nd son los valores superior en inferior entre los que se encuentra nx.

- Para entender mejor se realizarán tres ejemplos.

Tenga en cuenta

- En un sistema sobreamortiguado no hay oscilación a diferencia de un sistema subamortiguado en donde el sistema si presenta oscilaciones controladas. Cuando el valor del factor de amortiguamiento ζ es igual a uno el sistema se conoce con el nombre de sistema críticamente amortiguado.

- Con los valores de los tiempos t1 y t2 o t1 y t3 es posible hallar el factor de amortiguamiento y frecuencia natural de sistema, así mismo con los valores del factor de amortiguamiento ζ y frecuencia natural ωn del sistema es posible hallar los tiempos t1(26.42%), t2(80.08%) y t3(95.95%).

-El mínimo valor de la relación t2/t1 es 3 y el máximo valor es 5.2. Cuando t2/t1 es menor a 3 significa que el sistema es más rápido que uno de segundo orden entonces es el sistema es de orden superior y cuando t2/t1 es mayor a 5.2 significa que el sistema es más lento que uno de segundo orden por tanto es un sistema de primer orden. Así mismo cuando la relación t3/t1 es menor a 5 el sistema es de orden superior y cuando es mayor a 10.3245 el sistema es de primer orden.

- Para entender mejor se realizarán 3 ejemplos.

Descarga la simulación en Proteus 7.9 de Sistemas de segundo orden sobreamortiguados (ζ ≥ 1) aquí.

Descarga la simulación en Proteus 8.3 de Sistemas de segundo orden sobreamortiguados (ζ ≥ 1) aquí.

Ejemplo 1. Halle los valores de factor de amortiguamiento, frecuencia natural no amortiguada y la función de transferencia para un sistema donde t1(26.42%) es de 1mseg, t2(80.08%) es de 4mseg y la ganancia k es de 1. Halle también el valor de t3(95.95%) y realice una simulación para verificar resultados.

Solución. Hallamos la relación t2/t1:

El valor de la relación lo ubicamos en la tabla:

Se puede ver que la relación t3/t1 es igual a 7.6419, que el valor del factor de amortiguamiento ζ es 1.5738 y que el valor de ωn*t1 es igual a 1.2211. De la relación t3/t1 despejamos t3, tenemos entonces:

Y hora de ωn*t1 despejamos ωn:

Ya con ζ, ωn y k se puede hallar la función de transferencia, tenemos:

La simulación es la siguiente:

La línea de color amarilla es la señal de entrada y la línea de color verde es la señal de salida. Se puede ver que la ganancia es unitaria y que el sistema es sobreamortiguado.

Ejemplo 2. De la siguiente función de transferencia halle los valores del factor de amortiguamiento, frecuencia natural, ganancia k, tiempo t1(26.42%), tiempo t2(80.08%) y tiempo t3(95.95%). Además realice una simulación para verificar resultados.

Solución. La función de transferencia la comparamos con la función canónica de un sistema de segundo orden:

Tenemos las siguientes igualdades:

Resolviendo tenemos:

En vista que el valor del factor de amortiguamiento no se encuentra en la tabla entonces se debe realizar interpolación, nos interesa conocer los valores de t2/t1, t3/t1 y ωn*t1. La interpolación se debe realizar con los valores superior e inferior entre los que se encuentra el factor de amortiguamiento:

Hallamos el valor de la relación t2/t1:

Ahora hallamos el valor de t3/t1:

Y finalmente hallamos la relación ωn*t1:

Como ya se tiene el valor de ωn entonces de ωn*t1 despejamos t1, tenemos entonces:

Ya con el valor de t1 de la relación t2/t1 despejamos t2:

Y finalmente de la relación t3/t1 despejamos t3:

La simulación es la siguiente:

La línea de color amarilla es la señal de entrada y la línea de color verde es la señal de salida. Se puede ver que la ganancia es de tres y que el sistema es sobreamortiguado.

Ejemplo 3. Se midieron los tiempos t1, t3 y ganancia de un sistema. Los valores son: tiempo t1(26.26%) de 3ms, tiempo t3(95.95%) de 28.65ms y una ganancia k de 2. Halle los valores del tiempo t2(80.08%), factor de amortiguamiento ζ, frecuencia natural ωn, función de transferencia del sistema y realice una simulación para verificar resultados.

Solución. Hallamos el valor de t3/t1:

En vista que el valor de t3/t1=9.55 no se encuentra en la tabla se debe realizar interpolación para hallar los valores de t2/t1, ζ y ωn*t1.

Hallamos el valor de la relación t2/t1:

Ahora hallamos el valor de ζ:

Y finalmente hallamos el valor de ωn*t1:

Ya con el valor de todas las relaciones entonces se puede hallar el valor de t2 y de ωn. De la relación t2/t1 despejamos t2:

Y ahora de la relación ωn*t1 despejamos ωn:

Ya con los valores de ζ, ωn y k se puede hallar la función de transferencia:

La simulación es la siguiente:

La línea de color amarilla es la señal de entrada y la línea de color verde es la señal de salida. Se puede ver que la ganancia es de dos y que el sistema es sobreamortiguado.